Para encontrar o valor de k para o qual uma das raízes da equação x^2 - 3kx + 5k = 0 é o dobro da outra, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Substituindo os valores de a, b e c da nossa equação, temos:

x = (3k ± √(9k^2 - 4(5k))) / 2

Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:

x = (3k ± √(9k^2 - 20k)) / 2

Para que uma das raízes seja o dobro da outra, podemos assumir que a menor raiz é x e a maior raiz é 2x. Então, temos:

x + 2x = 3k 3x = 3k x = k

Agora podemos substituir k por x na nossa expressão para as raízes:

x = (3k ± √(9k^2 - 20k)) / 2 x = (3x ± √(9x^2 - 20x)) / 2

Simplificando a expressão dentro da raiz novamente, temos:

x = (3x ± √x(9x - 20)) / 2

Para que uma das raízes seja o dobro da outra, precisamos que a diferença entre elas seja x. Então, temos:

(3x + √x(9x - 20)) / 2 - x = x 3x + √x(9x - 20) - 2x = 2x √x(9x - 20) = x 9x^2 - 20x = x^2 8x^2 - 20x = 0 4x(2x - 5) = 0

Portanto, as raízes da equação são x = 0 e x = 5/2. Como assumimos que a menor raiz é x, temos que a única solução para k é k = x = 5/2.

Referências:

• Stein, S. et al. (2014). Algebra. New York: Barron's Educational Series.
• Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Boston: Cengage Learning.